Extrablatt I zur Vorlesung SUPERSYMMETRIE

Die Lie-Gruppen SU(n) haben eine sehr einfache Struktur für ihre n−1 verschiedenen fundamentalen Darstellungen. Die speziellen unitären Transformationen haben natürlich eine definierende Darstellung auf dem Raum C. Die fundamentalen Darstellungen sind nun alles Darstellungen, die durch vollständig antisymmetrische Tensoren gegeben sind. Sie sind daher in natürlicher Weise auf den Räumen ∧k C, k = 1, . . . , n − 1, realisiert. In ähnlicher Weise lassen sich die symmetrischen Tensorprodukte S(C) verwenden, um Darstellungen mit vollständig symmetrischen Tensoren zu realisieren. Beide Klassen von Darstellungen genügen dann, um auch allgemeine Tensordarstellungen konstruieren zu können. Für die orthogonalen Gruppen SO(n) kann man ebenfalls vollständig antisymmetrische Tensordarstellungen mit Hilfe der Räume ∧k R realisieren. Allerdings gibt es nun zusätzliche Darstellungen, die nicht als Tensoren realisiert werden können. Dies sind die sogenannten Spinor-Darstellungen. Bezüglich SO(n) sind dies nämlich lediglich projektive Darstellungen, die zu gewöhnlichen Darstellungen einer nicht-trivialen Überlagerungsgruppe von SO(n) geliftet werden können. Diese zweifache Überlagerungsgruppen von SO(n) werden Spin(n) genannt. Die Tatsache, dass die Spinor-Darstellungen nicht in Form von Tensoren realisiert werden können, ist auf enge Weise damit verbunden, dass ihnen eine weitere algebraische Struktur zugrunde liegt, die der Clifford-Algebren.